此条目介绍的是素数阶乘。关于另一种用法，请见“阶乘素数”。
pn# 是计算第n个素数阶乘的函数
素数阶乘n#（红色的）与 阶乘n!（绿色的）的比较
素数阶乘（又称：质数阶乘）是所有小于或等于该数的素数的积，自然数n的素数阶乘，写作n#。例如10以下的素数有：2,3,5,7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n个素数阶乘的值，写作pn#。例：第三个素数为5，所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。[注 1]
素数阶乘与阶乘不同于，素数阶乘是素数乘积而阶乘是自然数乘积。
素数阶乘由Harvey Dubner定义并命名。
目录
1 用素数定义
2 用自然数定义
3 恒等式
4 素数阶乘列表（部分）
5 参见
6 注释
7 参考文献
用素数定义
第n个素数pn的素数阶乘pn#定义为前n个素数的积：[1][2]
pn#=∏k=1npk
其中pk是第k个素数。
例如，p5#代表前五个素数的乘积：
p5#=2×3×5×7×11=2310
前几个素数阶乘pn#是：
2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, ...（OEIS中的数列A002110）
并定义p0# = 1 为空积。
素数阶乘pn#的渐进递增为：
pn#=exp[(1+o(1))⋅nlogn][2]
其中：
"exp"是指数函数ex
"o"是大O符号[2][注 2]
用自然数定义
一般情况下，对于正整数n的一素数阶乘n#（或称作自然素数阶乘）也可以被定义为：[1][3]
n#=∏i=1π(n)pi=pπ(n)#
其中，π(n)是素数计数函数（OEIS中的数列A000720），表示小于或等于某个实数n的素数的个数。
它等于：
n#={1if n=1n×((n−1)#)if n>1∧n is prime(n−1)#if n>1∧n is composite
prime指素数，composite指合成数
例如，12# 代表素数≤ 12：
12#=2×3×5×7×11=2310
因为π(12) = 5，所以这个算式也可以写成：
12#=pπ(12)#=p5#=2310
前几个自然素数阶乘n#是：
1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310
不难发现当n为合成数时，n#的值总是与(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#，因为12为合成数。
n#的自然对数是第一个切比雪夫函数，记为θ(n) 或 ϑ(n)。[4]
素数阶乘n#的渐进递增为：
ln(n#)∼n
素数阶乘的概念可以用于证明素数是无限的。（参见证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式）
[注 3]
恒等式
黎曼ζ函数在超过1的正整数可以素数阶乘与 Jordan's totient function Jk(n)表示：
ζ(k)=2k2k−1+∑r=2∞(pr−1#)kJk(pr#),k=2,3,…
素数阶乘列表（部分）
n
n#
pn
pn#
0
1
无素数
1
1
1
2
2
2
2
3
6
3
6
5
30
4
6
7
210
5
30
11
2310
6
30
13
30030
7
210
17
510510
8
210
19
9699690
9
210
23
223092870
10
210
29
6469693230
11
2310
31
200560490130
12
2310
37
7420738134810
13
30030
41
304250263527210
14
30030
43
13082761331670030
15
30030
47
614889782588491410
参见
素数（质数）
阶乘
欧几里得数
注释
↑ 本段是翻译自日文"素数阶乘"条目
↑ 本段（素数阶乘#用素数定义）是翻译自英文Primorial条目的"Definition for prime numbers"段落
↑ 本段（素数阶乘#用自然数定义）是翻译自英文条目Primorial中的Definition for natural numbers段落
参考文献
Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.
↑ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (编). Primorial. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
↑ 2.0 2.1 2.2 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A002110 (Primorial numbers (first definition): product of first n primes. Sometimes written prime(n)#). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
↑ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A034386 (Primorial numbers (second definition): n# = product of primes <= n.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
↑ Weisstein, Eric W. (编). Chebyshev Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.