1. 行列式与矩阵求逆的本质联系
1. 从几何意义理解
设二维矩阵 A： A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} A=[a11a21a12a22]
1.1 行列式的几何意义
行列式|A|表示矩阵A对应的线性变换对面积的缩放比例
|A| = 0 意味着变换后空间被"压缩"到更低维度
|A| ≠ 0 意味着变换保持了空间的维度
1.2 矩阵求逆的几何意义
A⁻¹ 代表一个反向的线性变换
如果A把面积缩放了|A|倍，那么A⁻¹需要把面积缩放 1/|A|倍
这就解释了为什么A⁻¹中要除以|A|
2. 从代数角度理解
2.1 为什么需要行列式
可逆性判断
|A| ≠ 0 是矩阵可逆的充要条件
这保证了逆矩阵存在
线性方程组解的唯一性
|A| ≠ 0 保证了方程组有唯一解
这意味着变换是一一对应的
2.2 为什么要除以行列式
考虑矩阵的伴随矩阵A*： A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ I AA^* = A^*A = |A|I AA∗=A∗A=∣A∣I
要得到单位矩阵I，必须除以|A|： A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗
3. 行列式的核心作用
提供可逆性判据
|A| = 0 ⟺ 矩阵不可逆
|A| ≠ 0 ⟺ 矩阵可逆
提供缩放因子
1/|A| 是使AA⁻¹ = I 的必要缩放系数
这个系数保证了逆变换的正确性
保持代数结构
|AB| = |A||B|
这保证了复合变换的正确性
总结：
行列式不仅告诉我们矩阵是否可逆
还提供了正确的缩放因子
同时保证了整个变换的代数和几何性质
这就是为什么行列式在矩阵求逆中起着如此关键的作用。它不仅是一个判断条件，更是构造逆矩阵的必要组成部分。
2. 2×2矩阵求逆
1. 二阶矩阵的基本形式
设矩阵 A： A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} A=[a11a21a12a22]
2. 计算行列式|A|
∣ A ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 |A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} ∣A∣=a11a22−a12a21
3. 判断是否可逆
若|A| = 0，矩阵不可逆
若|A| ≠ 0，继续以下步骤
4. 求伴随矩阵
伴随矩阵的步骤： 4) 求代数余子式矩阵： A 11 = a 22 A 12 = − a 21 A 21 = − a 12 A 22 = a 11 A_{11} = a_{22} \quad A_{12} = -a_{21} \\ A_{21} = -a_{12} \quad A_{22} = a_{11} A11=a22A12=−a