目录投影变换正投影轴测、等轴测正投影正投影坐标系裁剪窗口、正投影观察体裁剪窗口正投影观察体正投影的规范化变换规范化观察体规范化变换斜投影斜平行投影斜等测、斜二测平行投影斜平行投影变换透视投影平行投影与透视投影区别投影参考点与观察原点坐标变换特殊透视投影灭点灭点与投影参考点透视投影观察体透视投影变换矩阵对称透视投影椎体斜透视投影棱台透视投影的规范化变换
投影变换
将对象描述从世界坐标系变换到观察坐标系后，要将其投影到观察平面 —— 投影变换。有2种投影方式：
平行投影（parallel projection），坐标位置沿平行线变换到观察平面。保持对象的比例不变，常用于辅助绘图、设计生成工程图。获取对象平行视图的方法有2种：1）正投影：沿垂直于观察平面的直线投影；2）斜投影：沿某倾斜角度投影到观察平面。
透视投影（perspective projection），对象位置沿会聚到观察平面后的一点（即投影参考点/投影中心）的直线，变换到投影坐标系。透视投影不会保持对象比例，但真实感更好。
注意：概念上，投影变换指将对象变换到观察平面；实际应用中，投影变换 = 将对象变换到观察平面 + 规范化变换。
线段\(P_1P_2\)的平行投影、透视投影示意：
正投影
对象沿与投影平面法向量N平行的方向，到投影平面上的变换N称为正投影（orthogonal projection）或正交投影（orthographic projection）。
正投影：特殊的平行投影，投影线//投影平面法向量N。常用于生成对象的前视图、侧视图、顶视图，可用于建筑和工程绘图。
正交投影分为两步：
1）将点投影到观察平面；
2）规范化变换.
轴测、等轴测正投影
轴测正投影：
生成显示对象多个侧面的正投影，这些视图称为轴测（axonometric）正投影。
等轴测投影：
等轴测（isometric）投影是特殊轴测投影，其投影平面与每个坐标轴的交点到原点距离相等。
常见等轴测投影：多个投影平面形成一个立方体，立方体8个顶点分布在观察坐标系的8分象限。
正投影坐标系
观察坐标系\(x_{view}y_{view}z_{view}\)下，如果投影方向//\(z_{view}\)轴，则任意点\((x,y,z)\)的投影坐标\((x_p,y_p,z_p)\)：
\[\tag{6}
x_p=x, y_p=y, z_p=z_{vp}
\]
其中，\(z_{vp}\)为观察平面位置（观察平面⊥\(z_{view}\)轴）。\(z_p\)值被保存，用于可见性检测。
任意点到观察平面的正交投影：
裁剪窗口、正投影观察体
裁剪窗口
常用矩形窗口模拟照相机的镜头，用于确定有多少场景要显示，该矩形称为裁剪窗口。
OpenGL中，裁剪窗口位于观察平面上，位置、大小由矩形左下角+右上角确定，边与观察坐标系\(x_{view}, y_{view}\)轴平行，即\(x_{view}y_{view}\)平面的正则矩形。裁剪窗口边界限定了要显示的场景内容的x、y范围。
观察平面上用观察坐标指定裁剪窗口：
∵正投影的投影线⊥观察平面，裁剪窗口位于观察平面
∴裁剪窗口的4个边界的投影线⊥观察平面
此时，裁剪窗口的4个边界的投影线形成一个无限的裁剪区域，即没有头尾的长方体，如下图：
正投影观察体
选择1或2个边界平面（//观察平面），为该（无限裁剪）区域\(z_{view}\)方向限定边界，该区域称为正交观察体（orthographic view volume）或正投影观察体，这2个平面称为近-远裁剪平面（near-far clipping plane）或前-后裁剪平面（front-back clipping plane）。正交观察体外的场景对象会被排除，不会显示。观察方向沿\(-z_{view}\)轴，\(z_{far} < z_{near}\)
由远、近裁剪平面形成的正交投影观察体：
正投影的规范化变换
规范化观察体
观察坐标系下，任一点\((x,y,z)\)到观察平面的正交投影位置\((x,y)(z=n)\)。观察体内的对象，经规范化变换到一个特殊的轴对齐立方体，该立方体称为规范化观察体（normalized view volume/canonical view volume），其内部坐标称为规范化设备坐标（normalized device coordinates，简称NDC）。
\[观察坐标系(右手系)内一点\\
\xrightarrow{正交投影}正投影观察体(右手系)\\\xrightarrow{规范化变换}规范化观察体
\]
规范化观察体有两类：
1）单位立方体：限制x、y、z范围为[0,1]；
2）对称立方体：限制x、y、z范围为[-1,1]，左手系。
OpenGL,DirectX采用方案
OpenGL采样第2）种规范化观察体.
DirectX与OpenGL不同：将z深度映射到[0,1]而非[-1,1].
为什么规范化观察体用左手系？
屏幕坐标系常用左手系。左手屏幕坐标系：
观察方向的正距离有什么含义？
代表视点到屏幕（观察平面）的距离。
规范化变换
设近平面\(z=z_{near}=near=n\)、远平面 \(z=z_{far}=far=f, z_{far} 因为视线朝着\(-z\)方向，所以要求：\(n=z_{near}>f=z_{far}\). 正交投影的规范化变换示意图： 将变换分解为三步： 1）平移：将观察体中心\((\frac{xw_{min}+xw_{max}}{2},\frac{yw_{min}+yw_{max}}{2},\frac{z_{far}+z_{near}}{2})\)平移到规范化坐标系原点. 平移变换：\(\begin{aligned} T&=T(-{xw_{min}+xw_{max}\over 2},-{yw_{min}+yw_{max}\over 2},-{z_{near}+z_{far}\over 2}) \end{aligned}\)； 2）反射：以z轴为反射轴，将观察体反射，则观察体边界\((z_{near},z_{far})\to (-z_{near},-z_{far})\)； ∵\(z_{norm}\)轴与\(z_{view}\)轴反向 ∴反射变换（参见计算机图形：特殊几何变换）： \[Reflect_z=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \] 3）缩放：将x、y、z坐标从\((xw_{min},xw_{max})、(yw_{min},yw_{max})、(-z_{near},-z_{far})\)放缩到-1~1范围. 放缩变换： \[\begin{aligned} S&=S({2\over xw_{max}-xw_{min}},{2\over yw_{max}-yw_{min}},{2\over (-z_{far})-(-z_{near})})\\ \end{aligned} \] 复合变换： \[\tag{7} \begin{aligned} M_{ortho,norm}&=S\cdot Reflect_z\cdot T\\ &= \begin{pmatrix} {2\over xw_{max}-xw_{min}}&0&0&0\\ 0&{2\over yw_{max}-yw_{min}}&0&0\\ 0&0&{2\over z_{near}-z_{far}}&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\\ &\cdot \begin{pmatrix} 1&0&0&-{xw_{min}+xw_{max}\over 2}\\ 0&1&0&-{yw_{min}+yw_{max}\over 2}\\ 0&0&1&-{z_{near}+z_{far}\over 2}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} {2\over xw_{max}-xw_{min}} & 0 & 0 & -{xw_{min}+xw_{max}\over xw_{max}-xw_{min}}\\ 0 & {2\over yw_{max}-yw_{min}} & 0 & -{yw_{min}+yw_{max}\over yw_{max}-yw_{min}}\\ 0 & 0 & {-2\over z_{near}-z_{far}} & {z_{near}+z_{far}\over z_{near}-z_{far}}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \] 注意：有的文献，z轴变换有差异，因为\(z_{near},z_{far}\)含义不同，或者所采用的NDC不同（左手or右手）. 斜投影 当平行投影的投影线与观察平面不平行时，该映射称为斜投影（oblique parallel projection）。 平行投影 = 正交投影 + 斜投影 斜平行投影 如下图，场景中一点\(P(x,y,z)\)在观察平面（\(z_{vp}\)）正投影点\(P_1(x,y,z_{vp})\)，斜投影点\(P_2(x_p,y_p,z_{vp})\)，\(|P_1P_2|=L\)。 斜平行投影用2个角度描述： 1）α，斜平行投影线与\(P_1P_2\)的夹角； 2）φ，\(P_1P_2\)与\(x_{view}\)轴的夹角； 其中，\(α∈[0,π/2)，φ∈[0,2π)\) 斜投影坐标： \[\tag{8} x_p=x+L\cos φ\\ y_p=y+L\sin φ \] \(\vartriangle PP_1P_2\)中，求L： \[\tag{9} \tan α={z_{vp}-z\over L}\\ \therefore L={z_{vp}-z\over \tan α}=(z_{vp}-z)\cot α \] 当\(z_{vp}-z=1\)时，\(L=\cot α\) 有， \[x_p=x+\cot α\cos φ\\ y_p=y+\cot α\sin φ \] \(α=π/2\)时，可得正投影。 斜平行投影向量 斜投影线的方向，称为斜平行向量（parallel-projection vector），用\(V_p\)表示。观察坐标系下，\(V_p=(V_{px},V_{py},V_{pz}), \tan φ={V_{py}\over V_{px}}\)， ∵\(V_p//\overrightarrow{P_1P_2}\) ∴\(V_p,\overrightarrow{P_1P_2}\)在\(x_{view},y_{view},z_{view}\)轴分量比例相同（证明见下文），即 \[\frac{(\overrightarrow{P_1P_2})_x}{(\overrightarrow{P_1P_2})_z}={x_p-x\over z_{vp}-z}={V_{px}\over V_{pz}}\\ \frac{(\overrightarrow{P_1P_2})_y}{(\overrightarrow{P_1P_2})_z}={y_p-y\over z_{vp}-z}={V_{py}\over V_{pz}} \] 于是，斜平行投影可用正交投影向量表示成： \[\tag{10} \begin{aligned} x_p=x+(z_{vp}-z){V_{px}\over V_{pz}}\\ y_p=y+(z_{vp}-z){V_{py}\over V_{pz}} \end{aligned} \] 推论：三维空间下，平行向量\(\vec V_1(x_1,y_1,z_1),\vec V_2(x_2,y_2,z_2)\)的xyz坐标分量比例相同，即 \[{x_1\over y_1}={x_2\over y_2},{x_1\over z_1}={x_2\over z_2}, {y_1\over z_1}={y_2\over z_2} \] 证明： 假设\(\vec V_1(x_1,y_1,z_1)//\vec V_2(x_2,y_2,z_2)\)，那么， 存在λ∈R且λ≠0，使得 \[\vec V_1=λ\vec V_2\\ \implies (x_1,y_1,z_1)=λ(x_2,y_2,z_2)\\ \implies {x_1\over x_2}={y_1\over y_2}={z_1\over z_2}=λ\\ \implies {x_1\over y_1}={x_2\over y_2},{x_1\over z_1}={x_2\over z_2}, {y_1\over z_1}={y_2\over z_2} \] 即得证。 斜等测、斜二测平行投影 φ常用π/3（60°）、π/4（45°），显示对象前、侧、顶视图的组合（或前、侧、底）。 α常用值： 1）α=45°（tan α=1），获得视图称为斜等测（cavalier）投影图，垂直于投影平面的线条投影后长度不变。 2）α≈63.4°（tan α=2），获得视图称为斜二测（cabinet）投影图，垂直于投影平面的线条投影后长度为原来一半。真实感较1）更好。 斜平行投影变换 由式(10)，可得斜平行投影变换矩阵： \[\begin{aligned} P_2&=M_{oblique}\cdot P\\ \begin{bmatrix} x_p\\ y_p\\ z_{vp}\\ 0 \end{bmatrix} &= M_{oblique} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}\\ \implies \tag{11} M_{oblique}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -{V_{px}\over V_{pz}} & z_{vp}{V_{px}\over z_{pz}}\\ 0 & 1 & -{V_{py}\over V_{pz}} & z_{vp}{V_{py}\over V_{pz}}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 透视投影 将对象沿会聚到投影参考点（projection reference point）或投影中心（center of projection）的路径投影到观察平面来逼近几何光学效果，称为透视投影。 透视投影示意图： 平行投影与透视投影区别 平行投影：保持对象相对比例； 透视投影：模仿人眼或照相机，具有近大远小的真实感。 投影参考点与观察原点 投影参考点是透视投影才有的概念；观察原点是基于观察坐标系的概念，所有投影都有。 有的图形软件包将投影参考点设在观察原点，即视点；有的将投影参考点作为另一观察参数来选择。i.e. 投影参考点可视作观察原点，也可不同，取决于具体环境，参见下文“特殊透视投影”部分。 坐标变换 场景中任一点\(P(x,y,z)\)到投影参考点\(P_{0}(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)的投影示意图： 投影线与观察平面交点\(P'(x_p,y_p,z_{vp})\)。 投影线上任一点\((x',y',z')\)参数方程（证明见下面推论）： \[\tag{12} \begin{cases} x'=x-(x-x_{prp})u\\ y'=y-(y-y_{prp})u\\ z'=z-(z-z_{prp})u \end{cases} \] u=0时，代表点P(x,y,z)； u=1时，代表投影参考点\(P_0(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)。 参数方程写成点形式： \[P'=(1-u)P+uP_{0},u=\frac{|PP'|}{|PP_0|}\in [0,1] \] 推论（线性插值公式）：两点\(S_1(x_1,y_1,z_1)、S_2(x_2,y_2,z_2)\)确定直线段L，L上任一点\(S(x,y,z)\)坐标方程： \[\begin{cases} x&=ux_1+(1-u)x_2\\ y&=uy_1+(1-u)y_2 & u\in [0,1]\\ z&=uz_1+(1-u)z_2 \end{cases} \] 证明： ∵S位于直线L ∴\(S_1S//S_2S\) ∴存在非0实数λ，使得\(x-x_1=λ(x-x_2)\) ∴\(x={1\over 1-λ}x_1-{λ\over 1-λ}x_2\) 令\(u={1\over 1-λ}\)，有\(x=ux_1+(1-u)x_2\) ∵x在线段\(S_1S_2\)上，不妨设\(x_1\le x_2\) ∴\(x_1\le x\le x_2\) ∴\(x_1\le ux_1+(1-u)x_2\le x_2\) ∴\(0\le u\le 1\) 同理可证，y、z坐标也成立。故得证。 证明也可参见：数学基础：三角形重心坐标插值公式的证明 如何求投影变换公式？ 要求投影变换公式，就需要求出P在观察平面\(z'=z_{vp}\)上的投影点\(P'\)。 如上图，根据三角形相似性，可求出： \[\tag{13} u={z_{vp}-z\over z_{prp}-z}=\frac{|PP'|}{|PP_0|} \] 而根据线性插值公式，\(P'(x_p,y_p,z_p)\)坐标： \[\tag{14} \begin{aligned} x_p&=(1-u)x+ux_{prp}={z_{prp}-z_{vp}\over z_{prp}-z}x+{z_{vp}-z\over z_{prp}-z}x_{prp}\\ y_p&=(1-u)y+uy_{prp}={z_{prp}-z_{vp}\over z_{prp}-z}y+{z_{vp}-z\over z_{prp}-z}y_{prp}\\ z_p&=z_{vp} \end{aligned} \] 特殊透视投影 限制投影参考点或观察平面。 1）投影参考点限制在\(z_{view}\)轴，即\(x_{prp}=y_{prp}=0\) \[\tag{15} x_p={z_{prp}-z_{vp}\over z_{prp}-z}x, y_p={z_{prp}-z_{vp}\over z_{prp}-z}y \] 2）将投影参考点固定在原点，即\((x_{prp},y_{prp},z_{prp})=(0,0,0)\) \[\tag{16} x_p={z_{vp}\over z}x, y_p={z_{vp}\over z}y \] 3）观察平面是uv平面（uvn坐标系），对投影参考点位置不限制，即\(z_{vp}=0\) \[\tag{17} \begin{aligned} x_p&={z_{prp}\over z_{prp}-z}x-{z\over z_{prp}-z}x_{prp}\\ y_p&={z_{prp}\over z_{prp}-z}y-{z\over z_{prp}-z}y_{prp} \end{aligned} \] tips：uvn坐标系下，\(u,v,n\)分别代表\(x_{view},y_{view},z_{view}\)。参见uvn观察坐标系。 4）观察平面是uv平面，投影参考点在\(z_{view}\)轴，即\(z_{vp}=0,x_{prp}=y_{prp}=0\) \[\tag{18} \begin{aligned} x_p&={z_{prp}\over z_{prp}-z}x\\ y_p&={z_{prp}\over z_{prp}-z}y \end{aligned} \] 注意：投影参考点不能位于观察平面\(z_{prp}\neq z_{vp}\)，否则所有对象投影到观察平面上一点。 灭点 当一个场景使用透视投影到观察平面上时，平行于观察平面的线条投影后仍然平行。但任何与观察平面不平行的平行线组投影后，会成为一组会聚线条。一组投影平行线会聚的点，称为灭点（vanishing point）。每组平行线都有自己的灭点。 主灭点（principal vanishing point）：对象上平行于一个主轴的一组平行线的灭点。坐标轴有3个，所以主灭点最多有3个。 通过投影平面的方向，可以控制主灭点的数量（1，2或3），对应透视投影分为一点、两点或三点投影。 e.g. 立方体的一点、两点透视投影： 灭点与投影参考点 不同点： 是否能修改 投影参考点模拟人眼或摄像机，一旦选定，不能随意修改；灭点会随着对象的几何变换而改变位置。 针对对象 灭点针对对象的一组平行线，可能有0个或多个；投影参考点针对所有透视投影，只有1个点。i.e. 透视投影一定存在投影参考点，而平行于观察平面的线组不存在灭点。 透视投影观察体 在观察平面上指定一个矩形裁剪窗口，可得到透视投影观察体（perspective projection view volumes），称为视觉棱锥体（pyramid of vision）。棱锥体外的所有对象，都会被裁剪子程序消除。 视觉棱锥体： 注: 投影中心也是投影参考点。 添加垂直于\(z_{view}\)的远、近平面，可得到棱台观察体（frustum view volumes）。通常，远、近平面位于投影参考点同侧（简化版人眼/相机观察模型），且远平面距投影参考点更远。 棱台观察体： 注：有些应用/模型为计算方便，将近裁剪平面设为与观察平面重合. 透视投影变换矩阵 式(14)给出透视投影变换的一般形式，但不能直接得到变换矩阵，因为x、y系数含z（非常数）。可将其转化成别的参数形式，然后再用三维齐次坐标表示： \[\tag{19} x_p={x_h\over h},y_p={y_h\over h} \] 其中，任一点\(P(x,y,z)\)，P的投影点\(P'(x_p,y_p,z_p)\)，投影参考点\(P_0(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)，观察平面\(z=z_{vp}\)。 齐次参数： \[\tag{20} h=z_{prp}-z \] \(x_h,y_h\)： \[\tag{21} \begin{aligned} x_h=x(z_{prp}-z_{vp})+x_{prp}(z_{vp}-z)\\ y_h=y(z_{prp}-z_{vp})+y_{prp}(z_{vp}-z) \end{aligned} \] 用齐次坐标的矩阵变换表示透视变换： \[\tag{22} P_h=M_{pers}\cdot P \] 其中，\(P_h=(x_h,y_h,z_h,h)^T,P=(x,y,z,1)^T\) 可得一种可能的透视投影变换矩阵： \[\tag{22} M_{pers}=\begin{bmatrix} z_{prp}-z_{vp} & 0 & -x_{prp} & x_{prp}z_{vp}\\ 0 & z_{prp}-z_{vp} & -y_{prp} & y_{prp}z_{vp}\\ 0 & 0 & s_z & t_z\\ 0 & 0 & -1 & z_{prp} \end{bmatrix} \] 其中，参数\(s_z,t_z\)是z坐标投影值规范化过程中的比例和平移因子，值依赖于棱台观察体范围和规范化范围。如果不放缩、平移，则默认值分别为1, 0。 特例：如果将投影参考点限制在观察原点，且不做规范化和平移即\(s_z=1,t_z=0\)，则\((x_{prp},y_{prp},z_{prp})=(0,0,0)\). 那么，\(h=-z\) \[\begin{aligned} M_{pers}&=\begin{bmatrix} -z_{vp} & 0 & 0 & 0\\ 0 & -z_{vp} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \] 对称透视投影椎体 两种描述方法： 1. 使用中心线 从投影参考点到裁剪窗口中心并穿过观察体的线条，是透视投影棱台的中心线。如下图，如果中心线⊥投影平面，则观察体为对称棱台（symmetric frustum）（相对于中心线）。 观察坐标系下，观察平面\(z=z_{vp}\)，投影参考点\(P_{prp}(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)，则中心线与观察平面交于\((x_{prp},y_{prp},z_{vp})\)。裁剪窗口宽、高分别为width、height，则裁剪窗口边界： \[\begin{aligned} left &= xw_{min}=x_{prp}-{width\over 2},\\ right &= xw_{max}=x_{prp}+{width\over 2},\\ bottom &= yw_{min}=y_{prp}-{height\over 2},\\ top &= yw_{max}=y_{prp}+{height\over 2} \end{aligned} \] 注意：\(xw/yw\)中的字母\(w\)指clipping window. 因此，对于对称透视投影锥体，可用裁剪窗口宽、高代替窗口坐标。 2. 使用视场角、裁剪窗口宽高比 视场角（field-of-view angle，简称FOV）：棱台的上裁剪平面与下裁剪平面的夹角。对称棱台近似于照相机镜头捕获的场景视锥，可用于度量镜头的尺寸。 注：这里的视场角指垂直视场角（Vertical FOV），由top，bottom平面决定；实际上，还存在水平视场角（Horizontal FOV），有left, right平面决定.. 视场角（FOV）与裁剪窗口（clip window）关系： \[\tag{23} \tan(\frac{FOV}{2})={height/2\over z_{prp}-z_{vp}} \] ∴ \[\tag{24} height=2(z_{prp}-z_{vp})\tan ({FOV\over 2}) \] 又裁剪窗口宽高比 \[aspect=\frac{width}{height}\\ \therefore width=aspect\cdot height \] 对称棱台观察体经透视投影变换后，变成矩形平行管道观察体，变换后的点的范围限制在平行管道观察体内： 斜透视投影棱台 如果透视投影观察体的中心线不垂直于观察平面，则得到一个斜棱台（oblique frustum）。 斜透视投影 = 错切 + 透视变换 斜棱台顶视图： 斜棱台投影观察体，可通过相对于z轴的x方向、y方向错切（参见三维错切）变换成对称棱台。 为计算方便，将投影参考点设为观察原点，即\((x_{prp},y_{prp},z_{prp})=(0,0,0)\). 可设错切矩阵： \[\tag{24} \begin{aligned} M_{zshear}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & sh_{zx} & 0\\ 0 & 1 & sh_{zy} & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \] 如果观察平面 = 近裁剪平面（即\(z_{vp}=z_{near}\)），则透视投影矩阵可进一步简化。 ∵错切将裁剪窗口\((xw_{min},xw_{max},z_{near})\)中心移到观察平面原点\((0,0,z_{near})\)处 ∴错切参数\(sh_{zx},sh_{zy}\)满足： \[\tag{25} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ z_{near}\\ 1 \end{bmatrix}= M_{zshear}\cdot \begin{bmatrix} {xw_{min}+xw_{max}\over 2}\\ {yw_{min}+yw_{max}\over 2}\\ z_{near}\\ 1 \end{bmatrix} \] ∴有 \[\tag{26} \begin{aligned} sh_{zx}&=-{xw_{min}+xw_{max}\over 2z_{near}}\\ sh_{zy}&=-{yw_{min}+yw_{max}\over 2z_{near}} \end{aligned} \] 简化（对称）透视投影矩阵 当投影参考点位于观察原点，且近裁剪平面与观察平面重合（OpenGL默认）时，则透视投影变换矩阵(22)可简化为： \[\tag{27} M_{pers}=\begin{bmatrix} -z_{near} & 0 & 0 & 0\\ 0 & -z_{near} & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & t_z\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \] 其中，z坐标缩放和平移参数\(s_z, t_z\)由规范化确定。\(h=z_{prp}-z=-z\) 简化斜透视投影矩阵 将简化后的透视矩阵(27)和错切矩阵(24)合并，可得到将场景中坐标转换为齐次正交坐标系的斜透视投影矩阵。该变换中，投影参考点是观察原点，近裁剪平面是观察平面： \[\tag{28} \begin{aligned} M_{oblique\_pers}&=M_{pers}\cdot M_{zshear}\\ &=\begin{bmatrix} -z_{near} & 0 & {xw_{min}+xw_{max}\over 2} & 0\\ 0 & -z_{near} & {yw_{min}+yw_{max}\over 2} & 0\\ 0 & 0 & s_z & t_z\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \] 如果裁剪窗口关于观察原点对称，即\(xw_{max}=-xw_{min},yw_{max}=-yw_{min}\)，则棱台观察体是对称的，(28)可简化为(27)（无需错切，因为投影参考点位于观察原点）。 透视投影的规范化变换 透视投影最后一步：棱台观察体（矩形平行管道，坐标符合右手系）\(\xrightarrow{规范化}\)规范化观察体（对称立方体，坐标符合左手系）。 透视投影规范化 = 平行管道观察体的正交投影 规范化示意图（近裁剪平面作为观察平面）： 规范化变换中，矩形平行管道中心线\(z_{view}\)，在x、y方向不再需要平移，只需要相对于原点的x、y缩放。xy规范化缩放矩阵： \[\tag{29} M_{xyscale}=\begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 将(28)(29)合并，生成透视投影变换的规范化矩阵： \[\tag{30} \begin{aligned} M_{norm\_pers}&=M_{xyscale}\cdot M_{oblique\_pers}\\ &=\begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -z_{near} & 0 & {xw_{min}+xw_{max}\over 2} & 0\\ 0 & -z_{near} & {yw_{min}+yw_{max}\over 2} & 0\\ 0 & 0 & s_z & t_z\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -z_{near}s_x & 0 & \frac{xw_{min}+xw_{max}}{2}s_x & 0\\ 0 & -z_{near}s_y & \frac{yw_{min}+yw_{max}}{2}s_y & 0\\ 0 & 0 & s_z & t_z\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \] (30)对应的规范化变换： \[\tag{31} \begin{pmatrix} x_h\\ y_h\\ z_h\\ h \end{pmatrix} =M_{norm\_pers}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix} \] ∴\(P(x,y,z)\)的投影坐标\(P'(x_p,y_p,z_p)\)： \[\begin{aligned} x_p&=\frac{x_h}{h}=\frac{-s_xz_{near}x+s_x(xw_{min}+xw_{max})/2}{-z}\\ y_p&=\frac{y_h}{h}=\frac{-s_yz_{near}x+s_y(yw_{min}+yw_{max})/2}{-z}\\ z_p&=\frac{z_h}{h}=\frac{s_zz+t_z}{-z} \end{aligned} \] 其中，\(h=-z\) 如何确定参数\(s_x,s_y,s_z,t_z\)？ 坐标映射：\((xw_{min},yw_{min},z_{near})\xrightarrow{}(-1,-1,-1), (xw_{max},yw_{max},z_{far})\xrightarrow{}(1,1,1)\). \(s_x,s_y\)分别将长度\(xw_{max}-xw_{min},yw_{max}-yw_{min}\)放缩为新长度2,2 ∴ \[\begin{aligned} s_x&=\frac{2}{xw_{max}-xw_{min}},\\ s_y&=\frac{2}{yw_{max}-yw_{min}} \end{aligned} \] \(s_z,t_z\)将输入坐标\(z_{near},z_{far}\)分别转换为\(-1,1\) ∴需满足 \[\begin{aligned} -1&=\frac{s_zz_{near}+t_z}{-z_{near}}\\ 1&=\frac{s_zz_{far}+t_z}{-z_{far}} \end{aligned} \] ∴有 \[\begin{aligned} s_z&=\frac{z_{near}+z_{far}}{z_{near}-z_{far}},\\ t_z&=\frac{-2z_{near}z_{far}}{z_{near}-z_{far}} \end{aligned} \] ∴代入(30)可得 \[M_{norm\_pers}=\begin{pmatrix} \frac{-2z_{near}}{xw_{max}-xw_{min}} & 0 & \frac{xw_{min}+xw_{max}}{xw_{max}-xw_{min}} & 0\\ 0 & \frac{-2z_{near}}{yw_{max}-yw_{min}} & \frac{yw_{min}+yw_{max}}{yw_{max}-yw_{min}} & 0\\ 0 & 0 & \frac{z_{near}+z_{far}}{z_{near}-z_{far}} & \frac{-2z_{near}z_{far}}{z_{near}-z_{far}}\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] 这就是透视投影（包括规范化）矩阵. 注意：该投影矩阵对应模型与OpenGL约定一致，包括 1）观察坐标系为右手系统，规范化坐标系为左手系统； 2）投影参考点位于观察原点，观察平面位于近裁剪平面； 3）远、近裁剪平面关系：\(z_{far}